Сборник с математически доказателства/Теория на множествата/Теорема за равномерната сходимост в точка

Една фaмилия от функции $(f_{n}:\mathbb {R} \to \mathbb {R} )_{n=1,2,...}$ се нарича равномерно сходяща в точката $\xi \in \mathbb {R}$ клоняща към $f$, ако за всяко положително $\varepsilon$ съществува естествено $m$ и положително $\delta$, такива че

$\forall n(n\geq m\Rightarrow \triangle _{\delta }(\xi )\subset \{x:|f(x)-f_{n}(x)|<\varepsilon \})$

където

$\triangle _{\delta }(\xi )=\{x:|x-\xi |<\delta \}$

e $\delta$-околност на $\xi$.

Една фaмилия от функции $(f_{n}:\mathbb {R} \to \mathbb {R} )_{n=1,2,...}$ ще наричаме равномерно поне ужсходяща в точката $\xi$ клоняща към $f,$ ако за всяко $\varepsilon$$>0$ съществува естествено $m$ и положително $\delta$, такива че

$\triangle _{\delta }(\xi )\subset \{x:|f(x)-f_{m}(x)|<\varepsilon \}.$

Повече информация за различните видове сходимост и свързаните с тях термини можете да намерите в допълнението Видове сходимост в пространства от функции.

Теорема

Теорема за равномерната сходимост в точка:

• Множеството от точки на равномерна сходимост и множеството от точки на равномерна поне ужсходимост на една фамилия от функции $F=(f_{n})_{n=1,2,...}$ са $G_{\delta }$-множества.

• Ако $F$ е равномерно сходяща или равномерно ужсходяща в точката $\xi$ и всеки нейн елемент е непрекъснат в $\xi$, то и всяка нейна граница $f$ e непрекъсната в тази точка.

• Ако $F$ е поточково сходяща в дадена точка $\xi$ клоняща към непрекъснатата в $\xi$ функция $f$ и всеки нейн елемент е непрекъснат в $\xi$, то $F$ e равномерно поне ужсходима в $\xi$.

Доказателство

Започваме с доказателството на първата част на теоремата:

Нека $f^{\ast }$ е такавa функция, че

$f^{\ast }(x)=\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)$

за всяко $x$, за което границата

$\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)$

съществува, и

$f^{\ast }(x)=0$

в противен случай. Дефинираме множествата

$S_{m}^{n}=\operatorname {Int} \left(\left\{x:\ \forall k\geq m\left(|f_{k}(x)-f^{\ast }(x)|<{\frac {1}{n}}\right)\right\}\right),$ ^➚

$R_{m}^{n}=\operatorname {Int} \left(\left\{x:\ |f_{m}(x)-f^{\ast }(x)|<{\frac {1}{n}}\right\}\right),$

$O_{n}=\bigcup _{m}S_{m}^{n},$

и

$U_{n}=\bigcup _{m}R_{m}^{n},$

които са по дефиниция отворени, както и множествaтa

$G=\bigcap _{n}O_{n}$

и

$H=\bigcap _{n}U_{n}$

които са $G_{\delta }$-множества. Очевидно

$y\in G$

тогава и само тогава когато

$\forall n\exists m\exists \delta >0\ \forall k\left(k\geq m\Rightarrow \triangle _{\delta }(y)\subset \left\{x:|f_{k}(x)-f^{\ast }(x)|<{\frac {1}{n}}\right\}\right),$

което е равносилно на

$\forall \varepsilon >0\ \exists m\exists \delta >0\ \forall k\left(k\geq m\Rightarrow \triangle _{\delta }(y)\subset \left\{x:|f_{k}(x)-f^{\ast }(x)|<\varepsilon \right\}\right),$

тоест на равномерната сходимост в $y$. Също така лесно се съобразява, че условията

$y\in H,$

$\forall n\exists m\exists \delta >0\left(\triangle _{\delta }(y)\subset \left\{x:|f_{m}(x)-f^{\ast }(x)|<{\frac {1}{n}}\right\}\right)$

и

$\forall \varepsilon >0\ \exists m\exists \delta >0\left(\triangle _{\delta }(y)\subset \left\{x:|f_{m}(x)-f^{\ast }(x)|<\varepsilon \right\}\right),$

са еквивалентни. Тоест, че $H$ е множеството от точки на равномерна поне ужсходимост.

Сега ще докажем втората част на теоремата.

От равномерната сходимост (или поне ужсходимост) на $(f_{k})_{k=1,2,...}$ в точката $\xi$ следва, че за всяко положително $\epsilon$ съществуват околност $W$ на $\xi$ и $m$ такива, че

$\forall x\in W\left(|f_{m}(x)-f(x)|<{\frac {\varepsilon }{3}}\right)$

и в частност

$|f_{m}(\xi )-f(\xi )|<{\frac {\varepsilon }{3}}$,

когато $f$ е някоя от границите на $(f_{k})_{k=1,2,...}$. От непрекъснатостта на функциите $f_{1}$, $f_{2}$, ... следва, че съществува околност $V$$\!^{\subseteq }$$W$ на $\xi$, така че

$\forall x\in V\left(|f_{m}(x)-f_{m}(\xi )|<{\frac {\varepsilon }{3}}\right)$.

Събрани трите неравенствата показват непрекъснатостта на $f$ в точкта $\xi$:

$\forall x\in V\left(|f(x)-f(\xi )|<\varepsilon \right)$.

Ще завършим доказателството като покажем и верността на третото твърдение. За всяко положително $\epsilon$ съществува околност $Y$ на $\xi$, такава че

$\forall x\in Y\left(|f_{m}(\xi )-f(\xi )|<{\frac {\varepsilon }{3}}\right),$

$\forall x\in Y\left(|f(\xi )-f(x)|<{\frac {\varepsilon }{3}}\right)$

и

$\forall x\in Y\left(|f_{m}(x)-f_{m}(\xi )|<{\frac {\varepsilon }{3}}\right)$.

Това следва от поточковата сходимостта на $(f_{k})_{k=1,2,...}$ и от непрекъснатостта на функциите $f$, $f_{1}$, $f_{2}$, ... в $\xi$ и означава, че

$\forall x\in Y\left(|f_{m}(x)-f(x)|<{\varepsilon }\right)$.

Последното показва равномерната поне ужсходимост на $(f_{k})_{k=1,2,...}$ в $\xi$.

Вижте също

• Теорема на Йънг за прекъснатите функции

Литература

• Hausdorff F., Grundzuеge der Mengenlehre, Verlag Veit & Co, Leipzig, 1914, преиздадена от Chelsea Pub. Co., 1949, 1965, 1978