Сборник с математически доказателства/Aнализ/Неравенство на Бернули

Неравенството на Бернули се среща в две форми като строго и като нестрого неравенство на Бернули.

Строго неравенство на Бернули

За всяко естесвено $n>1$ и реално $x>-1$, но различно от нула, е в сила

$(1+x)^{n}>1+nx.\,$

Доказателство

Ще проведем доказателството по индукция. За $n=2$ е в сила $(1+x)^{2}=1+2x+x^{2}>1+2x$. Нека неравнеството е вярно за всяко $n<k$. Тогава то е вярно и за $n=k+1$, защото:

$(1+x)^{k+1}=(1+x)^{k}(1+x)>(1+kx)(1+x)=1+(k+1)x+kx^{2}>1+(k+1)x.\,$

Нестрого неравенство на Бернули

За всяко естесвено $n\,$ и реално $x\geq -1$ е в сила

$(1+x)^{n}\geq 1+nx.\,$

Доказателство

• При $x=0$:

$(1+0)^{n}=1\geq 1=1+n\cdot 0$.

• При $x=-1$:

$(1+(-1))^{n}=0\geq 1-n=1+n\cdot (-1)$.

• При $n=1$:

$(1+x)^{1}=1+x\geq 1+1\cdot x$.

• Останалите случаи се препокриват с условията в строгото неравенство на Бернули.