Тази страница е в процес на изграждане.
Сходимост в пространства от реалнозначни функции
[редактиране]
Разглеждаме функции
![{\displaystyle f:D\to R}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66c6aa28d2db06a0437aaac9cef5c7a011b513c3)
където
e метрично пространство.
Разстоянието между две точки
и
в
ще бележим с
.
Поточкова сходимост в дадена точка ![{\displaystyle \xi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0b461aaf61091abd5d2c808931c48b8ff9647db)
[редактиране]
Редицата от функции
се нарича поточково сходяща (или просто сходяща) клоняща към
в точката
, ако
![{\displaystyle \forall \varepsilon \in \mathbb {R} _{>0}\ \exists m\in \mathbb {N} \ (n\geq m\Rightarrow \left|f_{n}(\xi )-f(\xi )\right|<\varepsilon )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f38ad9fff42bfe762be8826b291346be28e3163)
Редицата от функции
се нарича поточково сходяща във всяка точка (или поточково сходяща във всяка точка от дефиниционното и множество) клоняща към
, ако
![{\displaystyle \forall \xi \in D\ \forall \varepsilon \in \mathbb {R} _{>0}\ \exists m\in \mathbb {N} \ (n\geq m\Rightarrow \left|f_{n}(\xi )-f(\xi )\right|<\varepsilon )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/031e63104610046da531f1a561ea9e82337189b9)
Редицата от функции
се нарича равномерно сходяща клоняща към
, ако
![{\displaystyle \forall \varepsilon \in \mathbb {R} _{>0}\ \exists m\in \mathbb {N} \ \forall x\in D\ (n\geq m\Rightarrow \left|f_{n}(x)-f(x)\right|<\varepsilon )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe847aa156270740b7b298783b7469b3083cae8f)
Нека
е метрично пространство. Редицата от функции
се нарича равномерно сходяща в точката
клоняща към
, ако
![{\displaystyle \forall \varepsilon \in \mathbb {R} _{>0}\ \exists m\in \mathbb {N} \ \exists \delta \in \mathbb {R} _{>0}\ (n\geq m\Rightarrow \triangle _{\delta }(\xi )\subset \{x:\ |f_{n}(x)-f(x)|<\varepsilon \}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e3ec756993baf897e8af17374da5e2647ef7d10)
където
![{\displaystyle \triangle _{\delta }(\xi )=\{x:\ |x-\xi |<\delta \}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/305096e8c7aeb336dadbe06826034dde66af7023)
Нека
е метрично пространство. Редицата от функции
се нарича равномерно сходяща във всяка точка, ако за всяко
от
, тя е равномерно сходима във
.
Равномерна поне ужсходимост в дадена точка ![{\displaystyle \xi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0b461aaf61091abd5d2c808931c48b8ff9647db)
[редактиране]
Нека
е метрично пространство. Редицата от функции
се нарича равномерно поне ужсходяща в точката
клоняща към
, ако
![{\displaystyle \forall \varepsilon \in \mathbb {R} _{>0}\ \exists m\in \mathbb {N} \ \exists \delta \in \mathbb {R} _{>0}\ (\triangle _{\delta }(\xi )\subset \{x:\ |f_{m}(x)-f(x)|<\varepsilon \}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50cc4f781904c96aacc4efc2a00a1efc6ea6178a)
Забелeжка: Понятието "равномерна поне ужсходимост" не представлява общоприет в литературата термин. Този вид сходимост е описан за първи път от Хаусдорф в неговата книга Grundzuege der Mengenlehre (1914). Там той я нарича "униформна" (на немски uniforme Konvergenz) различавайки я от равномерната сходимост (на немски gleichmaessige Konvergenz). Ние няма да използваме това наименование, защото съществува опасност от объркване. (За тази опасност предупреждава и самият Хаусдорф в книгата си.) Френският израз за равномерна сходимост е сonvergence uniforme (а английският - uniform сonvergence).[1] Освен това употребата на думата сходимост в този случай е заблуждаващо. Редицата
mod
например отговаря на посочените условия и въпреки това не е дори поточково сходяща. Тоест тук не се касаее за сходимост в общоприетия смисъл.
Поточкова поне ужсходимост в дадена точка ![{\displaystyle \xi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0b461aaf61091abd5d2c808931c48b8ff9647db)
[редактиране]
Редицата от функции
се нарича поточково поне ужсходяща[2] (или просто поне ужсходяща) клоняща към
в точката
, ако
![{\displaystyle \forall \varepsilon \in \mathbb {R} _{>0}\ \exists m\in \mathbb {N} \ (\left|f_{m}(\xi )-f(\xi )\right|<\varepsilon )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7cf3b1e8d254bbde96ff4c973c6eeba6f4ec8de)
Поточкова поне ужсходимост във всяка точка
[редактиране]
Редицата от функции
се нарича поточково поне ужсходяща във всяка точка[2] (или поточково поне ужсходяща във всяка точка от дефиниционното и множество) клоняща към
, ако
![{\displaystyle \forall \xi \in D\ \forall \varepsilon \in \mathbb {R} _{>0}\ \exists m\in \mathbb {N} \ (\left|f_{m}(\xi )-f(\xi )\right|<\varepsilon )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/759c0c0eaa511c2c34466dd644abaa533ac04978)
- ↑ На български понякога също неправилно се употребява "униформена сходимост" вместо равномерна сходимост.
- ↑ 2,0 2,1 Това не е приет в литературата термин, а наименование, което използваме за да улесним изложението на доказателствата в сборника.