Сборник с математически доказателства/Допълнения/Видове сходимост

Тази страница е в процес на изграждане.

Сходимост в пространства от реалнозначни функции

Разглеждаме функции

$f:D\to R$

където $R$ e метрично пространство.

Разстоянието между две точки $y_{1}$ и $y_{2}$ в $R$ ще бележим с $|y_{1}-y_{2}|$.

Дефиниции

Поточкова сходимост в дадена точка $\xi$

Редицата от функции $F=(f_{n})_{n=1,2,...}$ се нарича поточково сходяща (или просто сходяща) клоняща към $f$ в точката $\xi \in D$, ако

$\forall \varepsilon \in \mathbb {R} _{>0}\ \exists m\in \mathbb {N} \ (n\geq m\Rightarrow \left|f_{n}(\xi )-f(\xi )\right|<\varepsilon )$

Поточкова сходимост във всяка точка

Редицата от функции $F=(f_{n})_{n=1,2,...}$ се нарича поточково сходяща във всяка точка (или поточково сходяща във всяка точка от дефиниционното и множество) клоняща към $f$, ако

$\forall \xi \in D\ \forall \varepsilon \in \mathbb {R} _{>0}\ \exists m\in \mathbb {N} \ (n\geq m\Rightarrow \left|f_{n}(\xi )-f(\xi )\right|<\varepsilon )$

Равномерна сходимост

Редицата от функции $F=(f_{n})_{n=1,2,...}$ се нарича равномерно сходяща клоняща към $f$, ако

$\forall \varepsilon \in \mathbb {R} _{>0}\ \exists m\in \mathbb {N} \ \forall x\in D\ (n\geq m\Rightarrow \left|f_{n}(x)-f(x)\right|<\varepsilon )$

Равномерна сходимост в точка

Нека $D$ е метрично пространство. Редицата от функции $F=(f_{n})_{n=1,2,...}$ се нарича равномерно сходяща в точката $\xi$ клоняща към $f$, ако

$\forall \varepsilon \in \mathbb {R} _{>0}\ \exists m\in \mathbb {N} \ \exists \delta \in \mathbb {R} _{>0}\ (n\geq m\Rightarrow \triangle _{\delta }(\xi )\subset \{x:\ |f_{n}(x)-f(x)|<\varepsilon \}),$

където

$\triangle _{\delta }(\xi )=\{x:\ |x-\xi |<\delta \}.$

Равномерна сходимост във всяка точка

Нека $D$ е метрично пространство. Редицата от функции $F=(f_{n})_{n=1,2,...}$ се нарича равномерно сходяща във всяка точка, ако за всяко $\xi$ от $D$, тя е равномерно сходима във $\xi$.

Равномерна поне ужсходимост в дадена точка $\xi$

Нека $D$ е метрично пространство. Редицата от функции $F=(f_{n})_{n=1,2,...}$ се нарича равномерно поне ужсходяща в точката $\xi$ клоняща към $f$, ако

$\forall \varepsilon \in \mathbb {R} _{>0}\ \exists m\in \mathbb {N} \ \exists \delta \in \mathbb {R} _{>0}\ (\triangle _{\delta }(\xi )\subset \{x:\ |f_{m}(x)-f(x)|<\varepsilon \}).$

Забелeжка: Понятието "равномерна поне ужсходимост" не представлява общоприет в литературата термин. Този вид сходимост е описан за първи път от Хаусдорф в неговата книга Grundzuege der Mengenlehre (1914). Там той я нарича "униформна" (на немски uniforme Konvergenz) различавайки я от равномерната сходимост (на немски gleichmaessige Konvergenz). Ние няма да използваме това наименование, защото съществува опасност от объркване. (За тази опасност предупреждава и самият Хаусдорф в книгата си.) Френският израз за равномерна сходимост е сonvergence uniforme (а английският - uniform сonvergence). Освен това употребата на думата сходимост в този случай е заблуждаващо. Редицата $g_{n}(x)=(n$ mod $2)$ например отговаря на посочените условия и въпреки това не е дори поточково сходяща. Тоест тук не се касаее за сходимост в общоприетия смисъл.

Поточкова поне ужсходимост в дадена точка $\xi$

Редицата от функции $F=(f_{n})_{n=1,2,...}$ се нарича поточково поне ужсходяща (или просто поне ужсходяща) клоняща към $f$ в точката $\xi \in D$, ако

$\forall \varepsilon \in \mathbb {R} _{>0}\ \exists m\in \mathbb {N} \ (\left|f_{m}(\xi )-f(\xi )\right|<\varepsilon )$

Поточкова поне ужсходимост във всяка точка

Редицата от функции $F=(f_{n})_{n=1,2,...}$ се нарича поточково поне ужсходяща във всяка точка (или поточково поне ужсходяща във всяка точка от дефиниционното и множество) клоняща към $f$, ако

$\forall \xi \in D\ \forall \varepsilon \in \mathbb {R} _{>0}\ \exists m\in \mathbb {N} \ (\left|f_{m}(\xi )-f(\xi )\right|<\varepsilon )$