Сборник с математически доказателства/Теория на множествата/Теорема на Йънг за прекъснатите функции

от Уикикниги

< Сборник с математически доказателства | Теория на множествата

Направо към: навигация, търсене

Уикипедия разполага със статия за Теорема на Йънг

Тази глава взаймства идеи от надеждни източници.

Тема на тази статия е доказателсво на теоремата на Йънг и някои нейни следствия.

[редактиране] Твърдение (Теорема на Йънг)

Нека $\mathfrak{G}$ e семейството на всички $G δ$ -множества^➚ от реални числа, $\mathfrak{F}$ - множеството от функции:

$f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ ,

а $N(f)\,$ за всяко $f\in\mathfrak{F}$ - множеството от точки, в които $f\,$ е непрекъсната. Тогава:

$\{N(f)\}_{f\in\mathfrak{F}}=\mathfrak{G}$ .

[редактиране] Доказателство

Първо ще докажем, че $\{N(f)\}_{f\in\mathfrak{F}}\subset \mathfrak{G}$ .

Нека $f\in\mathfrak{F}$ . Ще използваме следните означения:

$Y(f)=\mathbb{R}\backslash N(f),\,$

$\triangle_k(x)$ - за всяко $x\in N(f)$ околност на $x\,$ такава, че $\forall\xi\left( \xi\in\triangle_k(x)\Rightarrow |f(\xi)-f(x)|<\frac{1}{2k}\right),$

$G_k=\bigcup_{x\in N(f)}\triangle_k(x)$

и

$G=\bigcap_{k=1}^{\infty}G_k.$

$\triangle_k(x)$ са отворени множества следователно и $G k$ са също отворени множества, а $G$ борелово $G δ$ -множество. Ще докажем, че $N(f)=G\,$ .

Очевидно, че $N(f)\subset G,$ което се вижда от:

$\forall x \forall k ( x\in N(f)\Rightarrow x\in\triangle_k(x)) \Rightarrow \forall x \forall k \left(x\in N(f) \Rightarrow x\in G_k \right) \Rightarrow \forall x\ (x\in N(f) \Rightarrow x\in G).$

В обратната посока:

Нека $y\in G$ . Тогава $\forall k\ (y\in G_k)$ следователно

$\forall k\exists x_k(x_k\in N(f) \Rightarrow y\in\triangle_k(x_k)).$

Нека допуснем, че $y\notin N(f)$ . Тогава $y\neq x_k$ за всяко $k$ . Следователно за всяко $k$ съществува околност $\triangle^{\star}_k(y)$ на $y$ , такава, че $x_k\notin\triangle^{\star}_k(y)$ и $\triangle^{\star}_k(y)\subset\triangle_k(x_k).$

От дефиницията на $\triangle_k(x)$ следва

$\forall k\forall\xi\left(\xi\in\triangle^{\star}_{k}(y) \Rightarrow |f(y)-f(\xi)|<\frac{1}{k}\right),$

но това означава, че $y\in N(f).$ .

С това доказахме, че $N(f)\in \mathfrak{G}$ и следователно $\{N(f)\}_{f\in\mathfrak{F}}\subset \mathfrak{G}$ . Остава да докажем, че $\{N(f)\}_{f\in\mathfrak{F}}\supset \mathfrak{G}$ .

Нека $G\in\mathfrak{G}$ и

$G=\bigcap_{n=1}^\infty{G_n},$ където ${G n} n = 1,2,...,$ са отворени множества. Нека освен това $H_1=G_1\,$ и $H_i=H_{i-1}\cap G_i.$

Ясно е, че

$H_1 \supset H_2 \supset \ldots \supset H_n \supset \ldots$

а също така, че

$\bigcap_{n=1}^m G_n=\bigcap_{n=1}^m H_n$

за всяко $m$ , от което следва

$G=\bigcap_{n=1}^\infty H_n$ .

Дефинираме функцията $f_{H}:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ за всяко отворено множество $H$ и функцията $s:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ както следва

$f_H(x)=\begin{cases} 0, & x\in H \cup(\mathbb{R}\setminus(\overline{H} \cup\mathbb{Q}))\\ 1, &x\in (\overline{H}\setminus H)\cup (\mathbb{Q}\cap(\mathbb{R}\setminus\overline{H})) \end{cases}$ ^➚

и

$s(x)=\sum_{n=1}^\infty\frac{f_{H_n}(x)}{3^n}.$

Ще докажем, че $s\,$ e функция, за която $N(s)=G\,$ , тоест, че $G\in\{N(f)\}_{f\in\mathfrak{F}}$ .

Първо ще покажем, че $N(f_H)=H.\,$

Ако $x\in H$ , то съществува $\varepsilon(x)>0$ такова, че $\triangle(x)=\{y: |y-x|<\varepsilon(x)\}\subset H.$ Функцията $f_H\,$ е константна върху $\triangle(x)$ и следователно непрекъсната в $x\,$ .

Ако

$x\in \overline{H}\setminus H,$

то за всяко $\varepsilon>0$

$H\cap\{y: |y-x|<\varepsilon\}\neq\emptyset$

и

$\forall z ((z\in H\cap\{y: |y-x|<\varepsilon\}\neq\emptyset) \Rightarrow (|f(x)-f(z)|=1)).$

$f_H\,$ следователно e прекъсната в $x\,$ .

Ако

$x\in \mathbb{R}\setminus\overline{H},\,$

то съществува $\varepsilon(x)>0$ такова, че $\triangle(x)=\{y: |y-x|<\varepsilon(x)\}\subset \mathbb{R}\setminus\overline{H}.$ В сила е

$\triangle(x) \cap (\mathbb{Q}\cap(\mathbb{R}\setminus\overline{H}))\neq \emptyset$

и

$\triangle(x) \cap (\mathbb{R}\setminus(\overline{H} \cup\mathbb{Q}))\neq \emptyset$

От което следва, че $f_H\,$ e и в този случай прекъсната в точката $x\,$ .

Нека да разгледаме сега функцията $s(x)\,$ . Редът

$\sum_{n=1}^\infty \frac{f_{H_n}(x)}{3^n}\qquad (\#)$

се мажорира от сходящия ред

$\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{3^n}$

и е следователно равномерно сходящ. Тъй като функциите $\{f_{H_n}\}_n$ са непрекъснати в $G\,$ , то заради равномерната сходимост на (#) и $s(x)\,$ би трябвало да е непрекъсната в $G,\,$ тоест $N(s)\supset G.$ Остава да покажем, че функцията $s(x)\,$ е прекъсната за всяко $x\in\mathbb{R}\setminus G.$