Сборник с математически доказателства/Чернова4

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Mit Hilfe der arithmetischen Operationen Addition, Multiplikation und Potenzieren läßt sich aus den endlichen Ordinalzahlen und $\omega$ ein Anfangstück von ${\textrm {On}}$ beschreiben, das schon erahnen lässt, wie vielfalltig die Klasse der Ordinalzahlen sein kann:

$\!^{0<1<2<...<\omega <\omega +1<\omega +2<...<\omega \cdot 2<\omega \cdot 2+1<\omega \cdot 2+2<...<\omega \cdot 3<\omega \cdot 3+1<...}$

$\!^{\ldots <\omega ^{2}<\omega ^{2}+1<...<\omega ^{2}+\omega <...<\omega ^{2}+\omega \cdot 2<...<\omega ^{2}\cdot 2<...<\omega ^{2}\cdot 3<...<\omega ^{3}<...}$

$\!^{\ldots <\omega ^{\omega }<...<\omega ^{\omega }\cdot 2<...<\omega ^{\omega }\cdot 3<...<\omega ^{\omega +1}<...<\omega ^{\omega +2}<...<\omega ^{\omega \cdot 2}<...<\omega ^{\omega \cdot 3}<...}$

$\!^{\ldots <\omega ^{\omega ^{2}}<...<\omega ^{\omega ^{\omega }}<...<\omega ^{\omega ^{\omega }\cdot 2}<...<\omega ^{\omega ^{\omega +1}}<...<\omega ^{\omega ^{\omega \cdot 2}}<...<\omega ^{\omega ^{\omega ^{2}}}<...<\omega ^{\omega ^{\omega ^{\omega }}}<...}$

Über diese Zahlen liegt die Kleinste von den sogennanten Epsilonzahlen, die sich aus den endlichen Zahlen und $\omega$ durch aritmetischen Operationen nicht gewinnen lassen und Lösungen der Gleichung $\omega ^{x}=x$ sind. Man kann den Epsilonzahlen (ihrer Größe nach) Indizes vergeben

$\!^{\varepsilon _{0}<...<\varepsilon _{1}<...<\varepsilon _{\omega }<...<\varepsilon _{\omega +1}<...<\varepsilon _{\omega \cdot 2}<...<\varepsilon _{\omega ^{2}}<...<\varepsilon _{\omega ^{\omega }}...<\varepsilon _{\varepsilon _{0}}<...}$

$\!^{...<\varepsilon _{\varepsilon _{0}+1}<...<\varepsilon _{\varepsilon _{0}+\omega }<...<\varepsilon _{\varepsilon _{0}+{\omega ^{\omega }}}<...<\varepsilon _{\varepsilon _{0}\cdot 2}<...<\varepsilon _{\varepsilon _{1}}<...<\varepsilon _{\varepsilon _{2}}<...}$

$\!^{...<\varepsilon _{\varepsilon _{\varepsilon _{0}}}<...<\varepsilon _{\varepsilon _{\varepsilon _{1}}}<...<\varepsilon _{\varepsilon _{\varepsilon _{\omega }}}<...<\varepsilon _{\varepsilon _{\varepsilon _{\varepsilon _{0}}}}<...}$

und somit eine weitere einstellige Operation $\xi$ $\!\mapsto \!$ $\epsilon _{\xi }$ definieren, die man zusammen mit den anderen arithmetischen Operationen zum Erfassen weiterer Ordinalzahlen verwenden kann. Mit endlich vielen endlichstelligen Operationen lassen sich aber alle Ordinalzahlen kleiner als die kleinste überabzählbare Ordinalzahl $\omega _{1}$ nicht aussschöpfen. Zwischen der kleinste Epsilonzahl $\epsilon _{0}$ und $\omega _{1}$ können sogar solche Zahlen liegen, deren Existenz in bestimmten axiomatischen Mengenlehren unbeweisbar ist. Auf ähnliche Schwierigkeiten trifft man auch bei der Suche nach immer größeren überabzählbaren Ordinalzahlen. Manche lassen sich mittels arithmetischen Operationen aus kleineren gewinnen andere dagegen nicht. Sie werden dann als Lösungen von Gleichungen, Supremum von speziellen Mengen oder Minumum von speziellen Klassen definiert, wobei die Korrektheit solcher Definitionen sowie die Existenz dieser Zahlen immer wieder bewiesen werden muss, was sich innerhalb einer bestimmten Mengenlehre auch als unlösbare Aufgabe herausstellen kann. Das wiederum hat aber nicht zu bedeuten, dass die Ordinalzahlen irgendwo zuende gehen, sondern nur, dass es Fragen über die feine und die grobe Struktur von ${\textrm {On}}$ gibt, für deren Klärung die zur Verfühgung stehenden mengentheoretischen Mittel unzureichend sein können. Die Frage danach, wie ausgedehnt die Klasse der Ordinalzahlen ist, kann zum Beispiel von der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre nicht beantworten werden. Diese Frage hängt von der genauen Definition des Begriffes Menge ab, welche aber innerhalb von ZFC fehlt.