Сборник с математически доказателства/Чернова5

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Limes- und Nachfolgerzahlen

Die Elemente einer (von Neumannschen) Ordinalzahl sind selbst Ordinalzahlen. Hat man zwei Ordinalzahlen $\sigma$ und $\tau$, dann ist $\sigma$ ein Element von $\tau$ genau dann, wenn $\sigma$ eine echte Teilmenge von $\tau$ ist, und es gilt, dass entweder $\sigma$ ein Element von $\tau$, oder $\tau$ ein Element von $\sigma$, oder $\sigma$ = $\tau$ ist. Damit ist durch die Elmentenbeziehung zwischen den Elementen einer Ordinalzahl eine irreflexive Totalordnungsrelation definiert. Es gilt sogar noch mehr: jede Menge von Ordinalzahlen ist wohlgeordnet. Dies verallgemeinert das Wohlordnungsprinzip, dass jede Menge von natürlichen Zahlen wohlgeordnet ist, und erlaubt die freie Anwendung der transfiniten Induktion und der Beweismethode des „unendlichen Abstiegs“ auf Ordinalzahlen. Jede Ordinalzahl $\sigma$ hat genau die Ordinalzahlen als Elemente, die kleiner sind als $\sigma$. Die mengentheoretische Struktur einer Ordinalzahl ist also vollständig durch kleinere Ordinalzahlen beschrieben. Jeder Durchschnitt oder Vereinigung von Ordinalzalen ist eine Menge von Ordinalzahlen. Weil jede Menge von Ordinalzahlen wohlgeordnet ist, ist jede transitive Menge von Ordinalzahlen selbst eine Ordinalzahl (s. Definition VII.). Man folgt daraus, dass auch jeder Durchschnitt oder Vereinigung von Ordinalzalen eine Ordinalzahl ist. Die Vereinigung aller Elemente einer Menge von Ordinalzahlen $S$ wird Supremum von $S$ genannt und mit ${\textrm {sup}}$ $S$ bezeichnet. Es ist nicht schwer zu zeigen, dass $\!^{\forall }$$\beta$$\!^{\in }$$S(\beta$$\!^{\leq }$${\textrm {sup}}$ $S)$ und $\!^{\forall }$$\beta <{\textrm {sup}}$ $S$ $\!^{\exists }$$\xi$$\!^{\in }$$S$$(\beta <\xi )$. Die $0$ wird per Definition für das Supremum der leeren Mengen erklärt. Wohlgeordnete Mengen sind nie einem ihrer Anfangsstrecken ordnungsisomorph. Deshalb existiert zwischen zwei Ordinalzahlen nur dann eine ähnliche Abbildung, wenn sie gleich sind. Die Klasse aller Ordinalzahlen ist keine Menge (s. auch: das Burali-Forti-Paradoxon). Wäre sie nämlich eine Menge, dann wäre sie eine wohlgeordnete und transitive Menge - eine solche Ordinalzahl $\theta$ also für die $\theta$ $\!^{\in }$ $\theta$. Ordinalzahlen $\theta$, die sich selbst als Element enthalten, existieren allerdings nicht, weil sie ordnungsisomorph zu einem ihrer Anfangsstrecken sein müssten (nämlich zu $\{\beta |\beta <\theta \}$). Aus dem Satz, dass ${\textrm {On}}$ eine echte Klasse ist, folgt, dass für jede Menge aus Ordinalzahlen $S$ Ordinalzahlen existieren, die größer sind als jedes Element von $S$. Unter den Ordinalzahlen größer als jedes Element einer Menge aus Orinalzahlen gibt es immer eine kleinste. Man nennt sie obere Grenze^, der Menge $S$ und bezeichnet sie mit ${\textrm {sup}}^{+}S$. Die kleinste Ordinalzahl $s(\xi )$ größer als alle Elemente der Ordinalzahl $\xi$ heißt Nachfolger von $\xi$. Der Nachfolger der Ordinalzahl $\xi$ wird oft mit $\xi +1$ bezeichnet. Diese Bezeichnung ergibt somit einen Sinn auch außerhalb der transfiniten Arithmetik (ohne zu dieser in Widersruch zu stehen). Falls $\xi$ ein größtes Element hat, dann wird dieses Vorgänger von $\xi$ genannt und mit $\xi -1$ bezeichnet. Nicht jede Ordinalzahl hat einen Vorgänger (wie z.B. $\omega$). Man nennt eine Ordinalzahl, die einen Vorgänger hat (wie z.B. die $1$), Nachfolgerzahl oder Zahl erster Art. Eine Ordinalzahl $\xi$ ist genau dann von erster Art, wenn $\xi =s({\textrm {sup}}$ $\xi )$. Die Ordinalzahlen erster Art und die $0$ nennt man isoliert. Eine positive Ordinalzahl ohne Vorgänger wird Limeszahl (oder Grenzzahl) genannt. Eine positive Ordinalzahl $\xi$ ist genau dann Limeszahl, wenn $\xi ={\textrm {sup}}$ $\xi$. Als Ordinalzahlen zweiter Art bezeichnet man die Limeszahlen sowie die $0$. Jede Ordinalzahl ist somit eine Zahl entweder der ersten oder zweiten Art und entweder Limeszahl oder isoliert, wobei für positive Zahlen die Begriffe Limeszahl und Zahl zweiter Art sowie isolierte Zahl und Zahl erster Art übereinstimmen. Die Zahl $0$ ist die einzige isolierte Zahl zweiter Art. Der Vorgänger von $s(\xi )$ ist für jede Ordinalzahl $\xi$ die Ordinalzahl $\xi$ selbst. Die Limeszahlen bilden eine echte Klasse, die mit ${\textrm {Lim}}$ bezeichnet wird. Falls $\xi$ eine Ordinalzahl erster Art ist, dann existiert eine endliche aber keine unendliche Folge: $\xi$, $\xi -1$, $(\xi -1)-1$, $((\xi -1)-1)-1$, $...$ . Angefangen bei $\xi$ erreicht man nach endlich vielen Abstiegen von einer Ordinalzahl zu ihrem Vorgänger eine Zahl zweiter Art. Es gilt sogar noch mehr: Falls $\xi$ eine transfinite Ordinalzahl ist, dann kann man zwar beliebig lange echt fallende Folgen mit erstem Element $\xi$ bilden, aber keine unendlichen solchen. Unendliche Folgen von Ordinalzahlen enthalten immer unendliche nicht fallende Teilfolgen.