В тази статия се представят аргументи за несъобразността от дефиниране на класове на Бер за неизброими ординални числа.
Нека класовете
са дефинирани както следва, без да се поставя ограничението за
➚ както при дефиницията на класовете на Бер.
е класът на непрекъснатите функции на една реална променлива,
за произволно ординално число
е класът на всички функции, които не принадлежат към
, но са (поточкова) граница на редица от функции принадлежащи към
,
Ще докажем следното:
за всички
.
Верността на твърдението може да се покаже чрез трансфинитна индукция.[1]
Индукционната хипотеза е

За
импликацията е вярна.
Нека тя е вярна за
. Ще покажем, че е вярна и за
.
Нека

Ще докажем, че
Нека
са такива ординали, че за

От индукционното предполжение следва

Нека

и

Ясно е, че за

и

Не е възможно
да е по-малко от
, защото тогава функцията
би била елемент на
за някое
.
и
обаче са дизюнктни по дефиниция, когато
. Следователно

и
[2],[3]
- Komjath P., Totik V., Problems and Theorems in Classical Set Theory, Springer, 2006, ISBN 978-0387302935
- ↑ Това доказателство следва упътването дадено в книгата: Натансон И. П., Теория функций вещественной переменной, Глав. редакция физ.-мат. литературы изд-ва «Наука», 1974 (в диг. форм., ИВМ СО РАН)
- ↑ Наблюдателният читател сигурно вече си е задал въпроса, защо в една подобна класификация на реални функции е възможнa появата на ограничение за изброимост. Причината се състой в това, че когато говорим за сходимост, си служим с редици, които са изброими множества. В описаното доказателство това беше решаващо при конструирането на
. Описаният факт кореспондира с невъзможността да се намери възходяща редица от изброими ординални числа клоняща към най-малкото неизброимо ординално число
.
- ↑ Друг интересен въпрос е, дали класовете на Бер за изброими индекси
са празни или не. Може да се покаже, че те не са празни. Този въпрос има непосредтвена връзка с темата борелови множества и с факта, че разглеждаме функции на една реална променлива. Ако вместо функции на една реална променлива разглеждахме например функции на една алгебрична променлива
:A→A над метричното пространство на алгебричните числа A, тогава още класът на Бер от втори ред щеше да е празен. Наистина, нека
да е рeдицата на всички алгебрични числа. Нека
за всяко
, а
e интерполиращ полином такъв, че
за всяко
≤
. Очевидно
→
за всяко алгебрично
. Препоръчваме на читателя, който иска да се задълбочи в тази тематика, §33, §38 и §39 в Хаусдорф Ф., Теория множеств, Ленинград, 1937.