Сборник с математически доказателства/Теория на множествата/Класовете на Бер и неизброимите ординали

От Уикикниги
Направо към навигацията Направо към търсенето
Уикипедия
Уикипедия разполага със статия за Класове на Бер
Уикипедия
Тази глава взаймства идеи от надеждни източници.

В тази статия се представят аргументи за несъобразността от дефиниране на класове на Бер за неизброими ординални числа.

Нека класовете са дефинирани както следва, без да се поставя ограничението за както при дефиницията на класовете на Бер.

  • е класът на непрекъснатите функции на една реална променлива,
  • за произволно ординално число е класът на всички функции, които не принадлежат към , но са (поточкова) граница на редица от функции принадлежащи към ,

Ще докажем следното:

Твърдение[редактиране]

за всички .

Доказателство[редактиране]

Верността на твърдението може да се покаже чрез трансфинитна индукция.[1]

Индукционната хипотеза е

За импликацията е вярна.

Нека тя е вярна за . Ще покажем, че е вярна и за .

Нека

Ще докажем, че

Нека са такива ординали, че за

От индукционното предполжение следва

Нека

и

Ясно е, че за

и

Не е възможно да е по-малко от , защото тогава функцията би била елемент на за някое . и обаче са дизюнктни по дефиниция, когато . Следователно

и

Box math 1.png [2],[3]

Литература[редактиране]

  • Komjath P., Totik V., Problems and Theorems in Classical Set Theory, Springer, 2006, ISBN 978-0387302935

Бележки[редактиране]

  1. Това доказателство следва упътването дадено в книгата: Натансон И. П., Теория функций вещественной переменной, Глав. редакция физ.-мат. литературы изд-ва «Наука», 1974 (в диг. форм., ИВМ СО РАН)
  2. Наблюдателният читател сигурно вече си е задал въпроса, защо в една подобна класификация на реални функции е възможнa появата на ограничение за изброимост. Причината се състой в това, че когато говорим за сходимост, си служим с редици, които са изброими множества. В описаното доказателство това беше решаващо при конструирането на . Описаният факт кореспондира с невъзможността да се намери възходяща редица от изброими ординални числа клоняща към най-малкото неизброимо ординално число .
  3. Друг интересен въпрос е, дали класовете на Бер за изброими индекси са празни или не. Може да се покаже, че те не са празни. Този въпрос има непосредтвена връзка с темата борелови множества и с факта, че разглеждаме функции на една реална променлива. Ако вместо функции на една реална променлива разглеждахме например функции на една алгебрична променлива  :AA над метричното пространство на алгебричните числа A, тогава още класът на Бер от втори ред щеше да е празен. Наистина, нека да е рeдицата на всички алгебрични числа. Нека за всяко , а e интерполиращ полином такъв, че за всяко . Очевидно за всяко алгебрично . Препоръчваме на читателя, който иска да се задълбочи в тази тематика, §33, §38 и §39 в Хаусдорф Ф., Теория множеств, Ленинград, 1937.