Сборник с математически доказателства/Теория на множествата/Теорема за равномерната сходимост в точка

От Уикикниги
Направо към навигацията Направо към търсенето
Уикипедия
Тази глава взаймства идеи от надеждни източници.

Една фaмилия от функции се нарича равномерно сходяща в точката[1] клоняща към , ако за всяко положително съществува естествено и положително , такива че

където

e -околност на .

Една фaмилия от функции ще наричаме равномерно поне ужсходяща в точката[2] клоняща към ако за всяко съществува естествено и положително , такива че

Повече информация за различните видове сходимост и свързаните с тях термини можете да намерите в допълнението Видове сходимост в пространства от функции.


Теорема[редактиране]

Теорема за равномерната сходимост в точка:

  • Множеството от точки на равномерна сходимост и множеството от точки на равномерна поне ужсходимост на една фамилия от функции са -множества.
  • Ако е равномерно сходяща или равномерно ужсходяща в точката и всеки нейн елемент е непрекъснат в , то и всяка нейна граница e непрекъсната в тази точка.
  • Ако е поточково сходяща в дадена точка клоняща към непрекъснатата в функция и всеки нейн елемент е непрекъснат в , то e равномерно поне ужсходима в .

Доказателство[редактиране]

Започваме с доказателството на първата част на теоремата:

Нека е такавa функция, че

за всяко , за което границата

съществува, и

в противен случай. Дефинираме множествата

и

които са по дефиниция отворени, както и множествaтa

и

които са -множества. Очевидно

тогава и само тогава когато

което е равносилно на

тоест на равномерната сходимост в . Също така лесно се съобразява, че условията

и

са еквивалентни. Тоест, че е множеството от точки на равномерна поне ужсходимост.

Сега ще докажем втората част на теоремата.

От равномерната сходимост (или поне ужсходимост) на в точката следва, че за всяко положително съществуват околност на и такива, че

и в частност

,

когато е някоя от границите на . От непрекъснатостта на функциите , , ... следва, че съществува околност на , така че

.

Събрани трите неравенствата показват непрекъснатостта на в точкта :

.

Ще завършим доказателството като покажем и верността на третото твърдение. За всяко положително съществува околност на , такава че

и

.

Това следва от поточковата сходимостта на и от непрекъснатостта на функциите , , , ... в и означава, че

.

Последното показва равномерната поне ужсходимост на в . Box math 1.png

Вижте също[редактиране]

Литература[редактиране]

  • Hausdorff F., Grundzuеge der Mengenlehre, Verlag Veit & Co, Leipzig, 1914, преиздадена от Chelsea Pub. Co., 1949, 1965, 1978

Бележки[редактиране]

  1. Това понятие е въведено за първи път от Хаусдорф в Grundzuege der Mengehnlehre, Kap. IX, § 4.
  2. Това не е приет в литературата термин, а наименование, което използваме за да улесним изложението на доказателствата в сборника (Виж. също допълнението Равномерна поне ужсходимост в дадена точка)