Една фaмилия от функции
се нарича равномерно сходяща в точката[1]
клоняща към
, ако за всяко положително
съществува естествено
и положително
, такива че

където

e
-околност на
.
Една фaмилия от функции
ще наричаме равномерно поне ужсходяща в точката[2]
клоняща към
ако за всяко 
съществува естествено
и положително
, такива че

Повече информация за различните видове сходимост и свързаните с тях термини можете да намерите в допълнението Видове сходимост в пространства от функции.
Теорема за равномерната сходимост в точка:
- Множеството от точки на равномерна сходимост и множеството от точки на равномерна поне ужсходимост на една фамилия от функции
са
-множества.
- Ако
е равномерно сходяща или равномерно ужсходяща в точката
и всеки нейн елемент е непрекъснат в
, то и всяка нейна граница
e непрекъсната в тази точка.
- Ако
е поточково сходяща в дадена точка
клоняща към непрекъснатата в
функция
и всеки нейн елемент е непрекъснат в
, то
e равномерно поне ужсходима в
.
Започваме с доказателството на първата част на теоремата:
Нека
е такавa функция, че

за всяко
, за което границата

съществува, и

в противен случай. Дефинираме множествата
➚


и

които са по дефиниция отворени, както и множествaтa

и

които са
-множества. Очевидно

тогава и само тогава когато

което е равносилно на

тоест на равномерната сходимост в
. Също така лесно се съобразява, че условията


и

са еквивалентни. Тоест, че
е множеството от точки на равномерна поне ужсходимост.
Сега ще докажем втората част на теоремата.
От равномерната сходимост (или поне ужсходимост) на
в точката
следва, че за всяко положително
съществуват околност
на
и
такива, че

и в частност
,
когато
е някоя от границите на
. От непрекъснатостта на функциите
,
, ... следва, че съществува околност 

на
, така че
.
Събрани трите неравенствата показват непрекъснатостта на
в точкта
:
.
Ще завършим доказателството като покажем и верността на третото твърдение. За всяко положително
съществува околност
на
, такава че


и
.
Това следва от поточковата сходимостта на
и от
непрекъснатостта на функциите
,
,
, ... в
и означава, че
.
Последното показва равномерната поне ужсходимост на
в
.
- Hausdorff F., Grundzuеge der Mengenlehre, Verlag Veit & Co, Leipzig, 1914, преиздадена от Chelsea Pub. Co., 1949, 1965, 1978
- ↑ Това понятие е въведено за първи път от Хаусдорф в Grundzuege der Mengehnlehre, Kap. IX, § 4.
- ↑ Това не е приет в литературата термин, а наименование, което използваме за да улесним изложението на доказателствата в сборника (Виж. също допълнението Равномерна поне ужсходимост в дадена точка)