Сборник с математически доказателства/Теория на множествата/Теорема на Йънг за прекъснатите функции

Тема на тази статия е доказателсво на теоремата на Йънг и някои нейни следствия.

Твърдение (Теорема на Йънг)

Нека ${\mathfrak {G}}$ e семейството на всички $G_{\delta }$-множества^➚ от реални числа, ${\mathfrak {F}}$ - множеството от функции:

$f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$,

а $N(f)\,$ за всяко $f\in {\mathfrak {F}}$ - множеството от точки, в които $f\,$ е непрекъсната. Тогава:

$\{N(f)\}_{f\in {\mathfrak {F}}}={\mathfrak {G}}$.

Доказателство

Първо ще докажем, че $\{N(f)\}_{f\in {\mathfrak {F}}}\subset {\mathfrak {G}}$.

Нека $f\in {\mathfrak {F}}$. Ще използваме следните означения:

$Y(f)=\mathbb {R} \backslash N(f),\,$

$\triangle _{k}(x)$ - за всяко $x\in N(f)$ околност на $x\,$ такава, че $\forall \xi \left(\xi \in \triangle _{k}(x)\Rightarrow |f(\xi )-f(x)|<{\frac {1}{2k}}\right),$

$G_{k}=\bigcup _{x\in N(f)}\triangle _{k}(x)$

и

$G=\bigcap _{k=1}^{\infty }G_{k}.$

$\triangle _{k}(x)$ са отворени множества следователно и $G_{k}$ са също отворени множества, а $G$ борелово $G_{\delta }$-множество. Ще докажем, че $N(f)=G\,$.

Очевидно, че $N(f)\subset G,$ което се вижда от:

$\forall x\forall k(x\in N(f)\Rightarrow x\in \triangle _{k}(x))\Rightarrow \forall x\forall k\left(x\in N(f)\Rightarrow x\in G_{k}\right)\Rightarrow \forall x\ (x\in N(f)\Rightarrow x\in G).$

В обратната посока:

Нека $y\in G$. Тогава $\forall k\ (y\in G_{k})$ следователно

$\forall k\exists x_{k}(x_{k}\in N(f)\Rightarrow y\in \triangle _{k}(x_{k})).$

Нека допуснем, че $y\notin N(f)$. Тогава $y\neq x_{k}$ за всяко $k$. Следователно за всяко $k$ съществува околност $\triangle _{k}^{\star }(y)$ на $y$, такава, че $x_{k}\notin \triangle _{k}^{\star }(y)$ и $\triangle _{k}^{\star }(y)\subset \triangle _{k}(x_{k}).$

От дефиницията на $\triangle _{k}(x)$ следва

$\forall k\forall \xi \left(\xi \in \triangle _{k}^{\star }(y)\Rightarrow |f(y)-f(\xi )|<{\frac {1}{k}}\right),$

но това означава, че $y\in N(f).$.

С това доказахме, че $N(f)\in {\mathfrak {G}}$ и следователно $\{N(f)\}_{f\in {\mathfrak {F}}}\subset {\mathfrak {G}}$. Остава да докажем, че $\{N(f)\}_{f\in {\mathfrak {F}}}\supset {\mathfrak {G}}$.

Нека $G\in {\mathfrak {G}}$ и

$G=\bigcap _{n=1}^{\infty }{G_{n}},$ където $\{G_{n}\}_{n=1,2,...},$ са отворени множества. Нека освен това $H_{1}=G_{1}\,$ и $H_{i}=H_{i-1}\cap G_{i}.$

Ясно е, че

$H_{1}\supset H_{2}\supset \ldots \supset H_{n}\supset \ldots$

а също така, че

$\bigcap _{n=1}^{m}G_{n}=\bigcap _{n=1}^{m}H_{n}$

за всяко $m$, от което следва

$G=\bigcap _{n=1}^{\infty }H_{n}$.

Дефинираме функцията $f_{H}:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ за всяко отворено множество $H$ и функцията $s:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ както следва

$f_{H}(x)={\begin{cases}0,&x\in H\cup (\mathbb {R} \setminus ({\overline {H}}\cup \mathbb {Q} ))\\1,&x\in ({\overline {H}}\setminus H)\cup (\mathbb {Q} \cap (\mathbb {R} \setminus {\overline {H}}))\end{cases}}$^➚

и

$s(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f_{H_{n}}(x)}{3^{n}}}.$

Ще докажем, че $s\,$ e функция, за която $N(s)=G\,$, тоест, че $G\in \{N(f)\}_{f\in {\mathfrak {F}}}$.

Първо ще покажем, че $N(f_{H})=H.\,$

Ако $x\in H$, то съществува $\varepsilon (x)>0$ такова, че $\triangle (x)=\{y:|y-x|<\varepsilon (x)\}\subset H.$ Функцията $f_{H}\,$ е константна върху $\triangle (x)$ и следователно непрекъсната в $x\,$.

Ако

$x\in {\overline {H}}\setminus H,$

то за всяко $\varepsilon >0$

$H\cap \{y:|y-x|<\varepsilon \}\neq \emptyset$

и

$\forall z((z\in H\cap \{y:|y-x|<\varepsilon \}\neq \emptyset )\Rightarrow (|f(x)-f(z)|=1)).$

$f_{H}\,$ следователно e прекъсната в $x\,$.

Ако

$x\in \mathbb {R} \setminus {\overline {H}},\,$

то съществува $\varepsilon (x)>0$ такова, че $\triangle (x)=\{y:|y-x|<\varepsilon (x)\}\subset \mathbb {R} \setminus {\overline {H}}.$ В сила е

$\triangle (x)\cap (\mathbb {Q} \cap (\mathbb {R} \setminus {\overline {H}}))\neq \emptyset$

и

$\triangle (x)\cap (\mathbb {R} \setminus ({\overline {H}}\cup \mathbb {Q} ))\neq \emptyset$

От което следва, че $f_{H}\,$ e и в този случай прекъсната в точката $x\,$.

Нека да разгледаме сега функцията $s(x)\,$. Редът

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f_{H_{n}}(x)}{3^{n}}}\qquad (\#)$

се мажорира от сходящия ред

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{3^{n}}}$

и е следователно равномерно сходящ. Тъй като функциите $\{f_{H_{n}}\}_{n}$ са непрекъснати в $G\,$, то заради равномерната сходимост на (#) и $s(x)\,$ би трябвало да е непрекъсната в $G,\,$ тоест $N(s)\supset G.$ Остава да покажем, че функцията $s(x)\,$ е прекъсната за всяко $x\in \mathbb {R} \setminus G.$

Нека $x\notin G$ и $m=\min\{n:x\notin H_{n}\}.$

Тогава

$s(x)=\sum _{n=m}^{\infty }{\frac {f_{H_{n}}(x)}{3^{n}}}.$

Ако

$x\in \mathbb {R} \setminus {\overline {H_{m}}},$

то

$x\in \mathbb {R} \setminus {\overline {H_{n}}}$ за всяко $n\geq m.$

и следователно

$\exists \delta \forall n(n\geq m\Rightarrow \triangle _{\delta }(x)\subset \mathbb {R} \setminus {\overline {H_{n}}}),$

където $\triangle _{\delta }(x)=\{y:|y-x|<\delta \}.$ За $y\in \triangle _{\delta }(x)$

$s(y)={\begin{cases}0,&y\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} \\\sum _{n=m}^{\infty }{\frac {1}{3^{n}}}>0,&y\in \mathbb {Q} \end{cases}}$

Което означава, че $x\notin N(s)$.

Ако

$x\in {\overline {H_{m}}}\setminus H_{m},$

то за всяко $\delta >0$

$\triangle _{\delta }(x)\cap H_{m}\neq \emptyset$

и

$\forall y\left(y\in \triangle _{\delta }(x)\cap H_{m}\Rightarrow s(y)\leq \sum _{n=m+1}^{\infty }{\frac {1}{3^{n}}}<{\frac {1}{3^{m}}}\right)$,

но

$s(x)\geq {\frac {F_{H_{m}}(x)}{3^{m}}}={\frac {1}{3^{m}}}.$

Следователно и в този случай $x\notin N(s).$

Литература

• Hausdorff F., Grundzüge der Mengenlehre, 1914, Chelsea Publishing Company, New York, 1949

Виж също

• Теорема за равномерната сходимост в точка