Сборник с математически доказателства/Теория на множествата/Теорема на Йънг за прекъснатите функции

От Уикикниги
Направо към навигацията Направо към търсенето
Уикипедия
Уикипедия разполага със статия за Теорема на Йънг
Уикипедия
Тази глава взаймства идеи от надеждни източници.

Тема на тази статия е доказателсво на теоремата на Йънг и някои нейни следствия.

Твърдение (Теорема на Йънг)[редактиране]

Нека e семейството на всички -множества от реални числа, - множеството от функции:

,

а за всяко - множеството от точки, в които е непрекъсната. Тогава:

.

Доказателство[редактиране]

Първо ще докажем, че .

Нека . Ще използваме следните означения:

- за всяко околност на такава, че

и

са отворени множества следователно и са също отворени множества, а борелово -множество. Ще докажем, че .

Очевидно, че което се вижда от:

В обратната посока:

Нека . Тогава следователно

Нека допуснем, че . Тогава за всяко . Следователно за всяко съществува околност на , такава, че и

От дефиницията на следва

но това означава, че .

С това доказахме, че и следователно . Остава да докажем, че .


Нека и

където са отворени множества. Нека освен това и

Ясно е, че

а също така, че

за всяко , от което следва

.

Дефинираме функцията за всяко отворено множество и функцията както следва

и

Ще докажем, че e функция, за която , тоест, че .

Първо ще покажем, че

Ако , то съществува такова, че Функцията е константна върху и следователно непрекъсната в .

Ако

то за всяко

и

следователно e прекъсната в .

Ако

то съществува такова, че В сила е

и

От което следва, че e и в този случай прекъсната в точката .

Нека да разгледаме сега функцията . Редът

се мажорира от сходящия ред

и е следователно равномерно сходящ. Тъй като функциите са непрекъснати в , то заради равномерната сходимост на (#) и би трябвало да е непрекъсната в тоест Остава да покажем, че функцията е прекъсната за всяко


Нека и

Тогава

Ако

то

за всяко

и следователно

където За

Което означава, че .


Ако

то за всяко

и

,

но

Следователно и в този случай Box math 1.png

Литература[редактиране]

  • Hausdorff F., Grundzüge der Mengenlehre, 1914, Chelsea Publishing Company, New York, 1949

Виж също[редактиране]