Направо към съдържанието

Сборник с математически доказателства/Теория на множествата/Теорема на Йънг за прекъснатите функции

От Уикикниги
Уикипедия
Уикипедия разполага със статия за Теорема на Йънг
Уикипедия
Тази глава взаймства идеи от надеждни източници.

Тема на тази статия е доказателсво на теоремата на Йънг и някои нейни следствия.

Твърдение (Теорема на Йънг)

[редактиране]

Нека e семейството на всички -множества от реални числа, - множеството от функции:

,

а за всяко - множеството от точки, в които е непрекъсната. Тогава:

.

Доказателство

[редактиране]

Първо ще докажем, че .

Нека . Ще използваме следните означения:

- за всяко околност на такава, че

и

са отворени множества следователно и са също отворени множества, а борелово -множество. Ще докажем, че .

Очевидно, че което се вижда от:

В обратната посока:

Нека . Тогава следователно

Нека допуснем, че . Тогава за всяко . Следователно за всяко съществува околност на , такава, че и

От дефиницията на следва

но това означава, че .

С това доказахме, че и следователно . Остава да докажем, че .


Нека и

където са отворени множества. Нека освен това и

Ясно е, че

а също така, че

за всяко , от което следва

.

Дефинираме функцията за всяко отворено множество и функцията както следва

и

Ще докажем, че e функция, за която , тоест, че .

Първо ще покажем, че

Ако , то съществува такова, че Функцията е константна върху и следователно непрекъсната в .

Ако

то за всяко

и

следователно e прекъсната в .

Ако

то съществува такова, че В сила е

и

От което следва, че e и в този случай прекъсната в точката .

Нека да разгледаме сега функцията . Редът

се мажорира от сходящия ред

и е следователно равномерно сходящ. Тъй като функциите са непрекъснати в , то заради равномерната сходимост на (#) и би трябвало да е непрекъсната в тоест Остава да покажем, че функцията е прекъсната за всяко


Нека и

Тогава

Ако

то

за всяко

и следователно

където За

Което означава, че .


Ако

то за всяко

и

,

но

Следователно и в този случай

Литература

[редактиране]
  • Hausdorff F., Grundzüge der Mengenlehre, 1914, Chelsea Publishing Company, New York, 1949

Виж също

[редактиране]